前言

在《数学一本通》上看到了几道盒球问题，所以很好奇所有盒球问题的解法。有错误请大佬指出。

T1

题目描述：新年到了，小 J 的好朋友小 X 等 n 人向 TA 要新年礼物，小 J 有 m 块一模一样的糖果，送给不同的 n 人（允许不送），有多少种送法。
题目分析：球不编号，盒子编号，允许空盒。
解题方法：设想有 m 个糖果排成一排，要在其中随意地插入 n-1 个挡板分成 n 个区间，表示 n 个礼物，那么就是说有 m+n-1 个位置，要选择 m 个位置放糖果，那么:
$$C_{m+n-1}^m$$

T2

题目描述：上次小 J 因为没有给小 A 送礼物被打了，所以今年送礼物的时候所有人都要送到，求有多少种送法。
题目分析：球不编号，盒子编号，不允许空盒。
解题方法：设想有 m 个糖果排成一排，那么每两块糖果之间有一个位置，一共有 m-1 种位置，这些位置放 n-1 块隔板就可以把糖果分成 n 个区间，所以:
$$C_{m-1}^{n-1}$$

T3

题目描述：上次小 J 因为给小 F 送的糖果最少被打了，所以今年送礼物的时候 TA 干脆装了 n 个盒子，有空盒，让朋友们凭运气抽一个。
题目分析：球不编号，盒子不编号，允许空盒
解题方法：假设 g(i,j) 表示前 j 个盒子放 i 个糖果，那么要么没空盒要么有空盒，如果有空盒，就是 g(i,j-1) 种，如果没有空盒，先一个盒子放一个糖果，然后其它的球瞎扔，有 g(i-j,j) 种。
$$g(i,j)=g(i,j-1)+g(i-j,j)$$
边界条件：如果 i=0 或者 j=1，g(i,j)=1。如果 j 比 i 大，g(i,j)=g(i,i)

T4

题目描述：小 W 脸非常黑，每次小 J 送礼都抽到空盒，所以小 J 还是不装空盒了。
题目分析：球不编号，盒子不编号，不允许空盒
解题方法：就是上一题那样的递推式，但是最后的答案是 g(m-n,m) 哦。

T5

题目描述：大家都说小 J 的礼物太没有新意了！小 J 只好去买了 m 个不同的水果，往 n 个相同的盒子里装，不允许空盒，有多少种方法？
题目分析：球编号，盒子不编号，不允许空盒
解题方法：用 f(i,j) 表示前 j 个盒子里装前 i 个球的方法，那么第 i 个球可以装在还是空着的第 j 个盒子里，也可以在前 j 个盒子都非空的情况下随便瞎扔到一个盒子里，得到递推式子：
$$f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-1,j)×j$$

T6

题目描述：小 J 考虑到送的人不同，还是应该在盒子上标号，求多少种送法？（依然是送水果）
题目分析：球编号，盒子编号，不允许空盒
解题方法：既然盒子编号了，那么 f 还是 T5 的 f，最后答案就是：
$$f(n,m)×(n!)$$

T7

题目描述：小 J 因为送礼的问题如此头痛，以至于 TA 今年不想送礼了！TA 把买来的 m 个不同的水果随机的往前面的相同的 n 个礼物盒里砸，由于脸白，TA 不会扔到礼物盒外，求最后小 J 可能扔出几种情况
题目分析：球编号，盒子不编号，允许空盒
解题方法：不空（考虑 n 个盒子），空一个盒子（考虑剩下的 n-1 个盒子），空两个盒子（考虑剩下的 n-2 个盒子）….. 得到答案为（f 还是那个 f）：
$$\sum_{i=1}^m f(n,i)$$

T8

题目描述：小 T 其实早已帮小 J 把盒子编号了… 那么小 J 可能扔出几种情况呢？
题目分析：球编号，盒子编号，允许空盒
解题方法：小 J 的心情很不好是不是？他扔一个水果过去，水果可能落在 n 个礼物盒的任一个里对吧？所以有 n 种情况对吧，每一次都是 n 种对吧？所以答案就是：
$$n^m$$

后记

小 J 由于不送礼被打死没就不是我可以知道的事了。