【题解】火柴排队 NOIP – 2013

传送门=￣ω￣=

1. 题目

题目描述 Description

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：
，其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入描述 Input Description

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例输入 Sample Input

[Sample 1]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
[Sample 2]
4
1 3 4 2
1 7 2 4
样例输出 Sample Output

[Sample 1]
1
[Sample 2]
2
数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例 1 说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例 2 说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10% 的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30% 的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60% 的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100% 的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 – 1。

2. 思路

很明显，想让の值最小，就是要让 a 中最小的对应 b 中最小的，a 中第二小的对应 b 中第二小的，以此类推。证明：

根据排序不等式：
“设有两组数 a1,a2,……an,b1,b2,……bn 满足 a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn 则有 a1bn+a2bn-1+……+anb1≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn 式中 t1，t2，……，tn 是 1，2，……，n 的任意一个排列，当且仅当 a1=a2=……=an 或 b1=b2=……=bn 时成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.”

——摘自 “Candy?” 的博客（我并不认识……）

所以具体做法：设 a[i] 所对应的 b 数组中的元素下标为 mp[i]，求法就是把 a、b 数组都按元素大小为第一关键字，下标为第二关键字从小到大排序，然后 for(1,n)，mp[a[i] 在原数组中的下标]=b[i] 在原数组中的下标，然后很明显，答案=mp 数组中的逆序对个数。

3. 代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 99999997
using namespace std;
typedef long long LL;
struct node{LL a,b;};
LL n,mp[100005],merc[100005],merd[100005],ans;
node na[100005],nb[100005];
bool cmp(node x,node y)
{
    if(x.a<y.a)return 1;
    if(y.a<x.a)return 0;
    if(x.b<y.b)return 1;
    return 0;
}
void mersort(LL l,LL r)
{
    if(l==r)return;
    LL m=(l+r)>>1,a=l,b=m+1,cnt=l;
    mersort(l,m),mersort(m+1,r);
    merc[m+1]=merd[r+1]=LLONG_MAX;
    for(int i=l;i<=m;i++)merc[i]=mp[i];
    for(int i=m+1;i<=r;i++)merd[i]=mp[i];
    while(a<=m||b<=r)
        if(merc[a]<=merd[b])mp[cnt++]=merc[a++],ans=(ans+b-m-1)%mod;
        else mp[cnt++]=merd[b++];
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(LL i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&na[i].a),na[i].b=i;
    for(LL i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&nb[i].a),nb[i].b=i;
    sort(na+1,na+1+n,cmp),sort(nb+1,nb+1+n,cmp);
    for(LL i=1;i<=n;i++)mp[na[i].b]=nb[i].b;
    mersort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}