题目描述

这天天气不错，hzhwcmhf 神犇给 VFleaKing 出了一道题：
给你一个长度为 N 的字符串 S，求有多少个不同的长度为 L 的子串。
子串的定义是 S[l]、S[l + 1]、… S[r] 这样连续的一段。
两个字符串被认为是不同的当且仅当某个位置上的字符不同。

VFleaKing 一看觉得这不是 Hash 的裸题么！于是果断写了哈希 + 排序。
而 hzhwcmhf 神犇心里自然知道，这题就是后缀数组的 height 中 < L 的个数 + 1，就是后缀自动机上代表的长度区间包含 L 的结点个数，就是后缀树深度为 L 的结点的数量。
但是 hzhwcmhf 神犇看了看 VFleaKing 的做法表示非常汗。于是想卡掉他。

VFleaKing 使用的是字典序哈希，其代码大致如下：

u64 val = 0;
for (int i = 0; i < l; i++)
 val = val * base + s[i] - 'a';

u64 是无符号 int64，范围是 [0, 2^64)。VFleaKing 让 val 自然溢出。
base 是一个常量，VFleaKing 会根据心情决定其值。
VFleaKing 还求出来了 base ^ l，即 base 的 l 次方，这样就能方便地求出所有长度为 L 的子串的哈希值。
然后 VFleaKing 给哈希值排序，去重，求出有多少个不同的哈希值，把这个数作为结果。
其算法的 C++代码如下：

typedef unsigned long long u64;

const int MaxN = 100000;

inline int hash_handle(const char *s, const int &n, const int &l, const int &base)
{
 u64 hash_pow_l = 1;
 for (int i = 1; i <= l; i++)
  hash_pow_l *= base;

 int li_n = 0;
 static u64 li[MaxN];

 u64 val = 0;
 for (int i = 0; i < l; i++)
  val = val * base + s[i] - 'a';
 li[li_n++] = val;
 for (int i = l; i < n; i++)
 {
  val = val * base + s[i] - 'a';
  val -= (s[i - l] - 'a') * hash_pow_l;
  li[li_n++] = val;
 }

 sort(li, li + li_n);
 li_n = unique(li, li + li_n) - li;
 return li_n;
}

hzhwcmhf 当然知道怎么卡啦！但是他想考考你。

题目分析

随机生成数据直到卡掉此代码（并不）
先%%%% 一下 VFK 神犇：
首先，假如 base 是偶数，则很容易卡掉，因为 aaa…aa 和 baaa…a（长度在 64 以上），即可卡掉（'a'=1,'b'=2）
如果 base 是奇数，VFK 神犇首先证明了一个东西：
我们假设 not(A) 表示将 A 字符串 “取反”，即所有 a 都变成 b，所有 b 都变成 a 后得到的字符串。
假设 A[1]="a",A[2]=A[1]+not(A[1])="ab",A[3]=A[2]+not(A[2])="abba"A[4]=“abbabaab" 以此类推。
则 A[i] 的长度为 $2^{i-1}$
$hash(A[i])=hash(A[i-1]) * base^{2^{i-2}}+hash(not(A[i-1]))$
现在假设 $f[i]=hash(A[i])-hash(not(A[i]))$
则：$f[i]=f[i-1] * (base^{2^{i-2}}-1)$
假设 $g[i]=base^{2^{i-1}}-1$
则：$f[i]=f[i-1] * g[i-1]$, 即 $f[i]=f[1] * g[1] * g[2] * g[3] * … * g[i-1]$
由于 base 是一个奇数，所以 base 的任意次方也是奇数，所以所有的 g 都是偶数。因此：
$$2^{i-1}|f[i]$$
不过这样还不够，因为我们不能构造 $2^{64}$这么长的字符串，所以继续分析：
$g[i]=base^{2^{i-1}}-1=(base^{2^{i-2}}-1)(base^{2^{i-2}}+1)$, 所以 $g[i]=g[i-1]*$偶数
所以 $2^i|g[i]$, 所以
$$2^{i * \frac{i-1}{2}}|f[i]$$
i=11 的时候就可以卡掉了！所以构造就很简单了。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=100000;
char s[N+1];int n=1,l;
int main()
{
    s[0]='a';
    for(int i=0;i<12;++i){
        for(int j=0;j<n;++j)
            if(s[j]=='a')s[j+n]='b';
            else s[j+n]='a';
        n<<=1;
    }
    l=n>>1;
    printf("%d %d\n",n+65,l);
    printf("%s",s);
    for(int i=1;i<=65;++i)printf("%c",'a');
    printf("\n");
    return 0;
}