【题解】楼房重建 线段树 bzoj2957

每个楼房，还有单点修改操作。简单的想到用线段树来维护信息。

显然线段树只需要维护 y/x 即可，对于每一个楼房，能看见的条件就是前面楼房的 y/x 的严格小于当前楼房的 y/x。

线段树的区间修改不再赘述。

那么怎么维护可以看到的楼房数呢？

考虑在线段树的每一个节点上用一个变量 sum 来表示从这个节点的左端点向右端点看时能看到多少楼房。

假设现在有一区间：1,5,8,0,7,9。维护这个区间信息的节点编号为 x。

x 的左儿子维护的区间是 1,5,8，从 1 往 8 看可以看到三个楼房，故 x 的左儿子的 sum 的值为 3。

x 的右儿子维护的区间是 0,7,9，从 0 往 9 看也可以看到三个楼房，故 x 的右儿子的 sum 的值也为 3。

难道 x 的 sum 值也为 3+3=6？错!

这显然是不能加在一起的，x 的 sum 的值为 4。

为什么会错呢？因为 x 的右儿子的观察视角不是从 1 开始的，是从 0 开始的。

显然 0 被前面的楼房挡住了。

首先考虑每个线段树节点在维护一个 mx，mx 代表这个节点所代表的区间中所有的楼房中最高的高度。

上传时，由于两个儿子的 sum 值是已经处理好的，而左儿子的视角是跟 x 的视角一样的 (对于上面的例子来说都是 1)，可以直接上传，即 sum(x)+=sum(l(x))。

对于右儿子，考虑递归处理右儿子的区间，递归时带一个 Mx 变量表示 x 的左儿子 mx(右儿子再左儿子后面，原因下面解释)，递归函数的返回值是当前处理区间可以被看到的楼房数 (从 x 的视角看)

对于现在处理的每一个区间：

• 如果这个区间的最高的楼房的高度都 Mx(可以看到)，那么 return 当前区间维护的 sum 值。
• 如果这个区间只代表一个楼房，直接判断其能否被看到即可。
• 对于剩下的情况，递归儿子，分两种情况讨论：
  • 如果左儿子的最高的楼房小于 Mx(不能对答案有任何贡献)，直接递归右儿子。
  • 否则，递归左儿子，右儿子能看到的楼房个数为当前区间 sum-左儿子 sum 即可，(应为下面已经更新好了，只需要直接调用就好了。)

Code(文中的 sum 用 l 代替):

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
using namespace std;
const int N=1e5+2;
struct Node {
    double mx;int l;
    #define m(x) tree[x].mx
    #define l(x) tree[x].l
} tree[N<<2];
int n,m;
double val[N];
inline void pushup_max(int x) {
    m(x)=max(m(x<<1),m(x<<1|1));
}
inline int pushup_sum(double Mx,int x,int l,int r) {
    if(m(x)<Mx)return 0;
    if(val[l]>Mx)return l(x);
    if(l==r)return val[l]>Mx;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(m(lson)<=Mx)return pushup_sum(Mx,rson,mid+1,r);
    else return pushup_sum(Mx,lson,l,mid)+l(x)-l(lson);
}
inline void change(int x,int l,int r,int pos,int value) {
    if(l==r&&l==pos){m(x)=(double)value/pos;l(x)=1;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)change(lson,l,mid,pos,value);
    else if(pos>mid)change(rson,mid+1,r,pos,value);
    pushup_max(x);
    l(x)=l(lson)+pushup_sum(m(lson),rson,mid+1,r);
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int x,y,i=1; i<=m; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        val[x]=(double)y/x;
        change(1,1,n,x,y);
        printf("%d\n",l(1));
    }
    return 0;
}