【算法】背包问题的模拟退火解决

本文所包含的思路来自于 NCC79601

* 算法剖析

简单来讲，背包退火就是用模拟退火的思路解决某些类型的背包问题，继承了模拟退火的玄学复杂度，也继承了它的不稳定性，所以能够有效地解决大背包问题的 TLE 问题。这个算法能够把数十行的代码优化部分转移为 洗把脸 调参的问题。

例题 ：LuoGuP1049【装箱问题】

有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积 vi。要求 n 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

·算法过程

首先就是模拟退火的随机设置自然就是把随机数种子设置好，别忘了先洗脸，然后通过模拟退火原理设置好转移概率表达式:

bool accept(int del)
{
    return ((del>0)||exp(-del/T) > (double)rand()/RAND_MAX);
} //转移概率表达式

使用这个概率从而达到刚开始退火，跳出当前最优解的概率大，而当靠近答案时跳出正确答案的可能性又逐渐减小。如有不懂请挪步模拟退火详解

·偏移过程

这就是上述问题的用武之地了: 以一定的概率不选当前最优解中的那个物品，从而衍生出另一种方案，如果比刚刚的更好，那么说明运气很好，跳到了一个更优解范围附近

if(accept(dE)) 
        {//以上述概率发生转移
            if(vis[a])
            {
                vis[a] = false;
                tot -= v[a];
            }//在当前物品已选的情况下放弃选用当前物品
            else
            {
                if(tot + v[a] > V)
                {
                    continue;
                }
                vis[a] = true;
                tot += v[a];
            }//在当前物品未选的情况下尝试选用当前物品
        }

·退火步骤

while(T > 1e-14) {
        ans=max(ans,tot); //维护最优答案，以防非酋情况发生
        a = rd; //进行随机
        int dE = v[a];
        if(vis[a])
        {
            dE *= -1; //产生能量差
        }
        if(accept(dE)) 
        {//发生转移
            if(vis[a])
            {
                vis[a] = false;
                tot -= v[a];
            }
            else
            {
                if(tot + v[a] > V)
                {
                    continue;
                }
                vis[a] = true;
                tot += v[a];
            }
        }
        T *= delta; //降温
    }

该过程通过降温系数 delta 对初温为 T 的物体降温，直到物体温度冷却接近 0。但是不能直接将 tot 作为答案输出，否则没洗脸的话可能会出现跳到了较劣解的情况。

退火的一些小技巧

1. 降温系数用 0.99789（玄学参数）

2. 初温设置为 1926（玄学参数）

3. 退火的转移概率计算式:e^(-dE/kT）

(del>0)||exp(-del/T) > (double)rand()/RAND_MAX

4. 最低温不要调的太低，不然妥妥的 TLE

5. 交一次不行说明 rp 不够你的时间不好，原代码再交一次也许 就行了呢

6. 别忘了洗脸 rp++

番外篇: 论欧皇的养成

iewqufhiwefdiweduiqwediuqedwedjewui

(被某个非酋网友摁在键盘上打/笑哭)

这是某个没洗脸的基佬的↑

这是我的↓

溜了溜了……