题目描述

小 J 开了一家科技公司，他的核心团队里有小 X，小 A，小 W 等 m 人，为了保密需要，小 J 想要只有当 n 个人到场的时候才能打开核心机密保险柜，那么请问：
（1）小 J 要在保险柜上装多少把锁？
（2）每个人分配多少把钥匙？
（3）要怎么分配？
例如当 m=4（小 J，小 X，小 A，小 W），n=2，则可以装 4 个锁，如下分配钥匙：

题目分析

首先利用抽屉原理可知，对于每一把钥匙，从 m 个人里任意取 n 个人肯定至少有一人有那把钥匙的话，至少要配 $m-n+1$把钥匙。
然后看着样例，我们可以大胆地设想一下对于每把锁，是哪几个人拥有这把锁的钥匙的情况都是不同的。再转念一想，假如有 n-1 个人来到了核心机密保险柜面前（就是前 n-1 个人好了），那么所有锁的钥匙拥有情况就是在 m 个物品里面取 $m-n+1$个的所有情况，其中肯定有一种情况是前 $n-1$个物品不取，也就是有一把锁前 n-1 个人打不开。
那么就有 $C_{m}^{m-n+1}$把锁，这样的话，要配的钥匙总数就是:$C_m^{m-n+1}*(m-n+1)$把
钥匙总数除以 m 就是每个人拥有的钥匙数量：
$$\frac{C_m^{m-n+1}×(m-n+1)}{m}=\frac{m!}{(m-n+1)!(n-1)!}* \frac{m-n+1}{m}=\frac{(m-1)!}{(m-n)!(n-1)!}$$
即：$C_{m-1}^{n-1}$把
如有错误，请大神指出。