0. 引言

在计算几何中，经常要求判断线段与线段或直线是否有交点。如果简单地求它们的交点再进行判断容易出错（误差之类的，而且比较麻烦），所以我们需要稳定的方法来判断！

• 注：后文中所有的表示未标注的话均为向量表示法。

1. 法一（基本法曰.. 曰）

定义

• 一条直线由一个点 $O$和一个向量 $V$组成，过点 $O,P$的直线可以表示为：$O+kV$，其中 $V=\overrightarrow{OP}$。
• $O=(x,y),P=(x1,y1),\overrightarrow{OP}=(x1-x,y1-y)$
• 一条线段由两个点构成

1. 判断线段与直线相交

正文

点 p2 对于线段的关系可以分为 5 种，如图所示：

• 1.$\overrightarrow{p0p2}$在 $\overrightarrow{p0p1}$逆时针方向 (Counter Clock Wise)
• 2.$\overrightarrow{p0p2}$在 $\overrightarrow{p0p1}$顺时针方向 (Clock Wise)
• 3.$p2$在直线 $p0p1$上且 $\overrightarrow{p0p1}$与 $\overrightarrow{p0p2}$反向 (On Line Back)
• 4.$p2$在直线 $p0p1$上且 $\overrightarrow{p0p1}$与 $\overrightarrow{p0p2}$同向且 $p2$不在线段 $p0p1$上 (On Line Front)
• 5.$p2$在直线 $p0p1$上且 $\overrightarrow{p0p1}$与 $\overrightarrow{p0p2}$同向且 $p2$在线段 $p0p1$上 (On segment)

那么我们就可以分类讨论他们的特点啦。

首先，如果两条线段（$p0p1$与 $p2p3$）相交，则对于 $p0,p1$来说有如下三种情况：

• $p0,p1$分别在 $\overrightarrow{p2p3}$两端，一个在顺时针方向，一个在逆时针方向。
• $p0,p1$中至少有 1 个在线段 $p2p3$上
• $p0,p1,p2,p3$在同一直线上，且线段 $p2,p3$在线段 $p0,p1$上

对于 $p2,p3$同理。

于是我们需要判断一个点与一条线段之间的关系。

然后我们就写了这样一个函数（下面的情况指的是上面五张图中的各种情况）：

#define EPS (1e-10)
typedef struct Point//点与向量的结构体
{
    double x,y;
    double dot(Point a){return x*a.x+y*a.y;}//点乘
    double cross(Point a){return x*a.y-a.x*y;}//叉乘
    double norm(){return x*x+y*y;}//计算向量大小
    Point operator - (Point a){return (Point){x-a.x,y-a.y};}//向量相减
}Vector;
double ccw(Point s,Point e,Point p)//Counter Clock wise, 判断点与线段的位置关系
{
    //s 是线段起点，e 是终点，p 是需要判断的点
    Vector a=e-s,b=p-s;//那么这里的 a 就上面五张图中红色的向量，b 是蓝色的向量
    if(a.cross(b)>EPS)return 1;//若 a 与 b 的叉积为正就说明是情况 1，即点在线段逆时针方向
    if(a.cross(b)<-EPS)return -1;//若 a 与 b 的叉积为负就说明是情况 2，即点在线段顺时针方向
    //剩下三种情况为点在线段所在直线上
    if(a.dot(b)<-EPS)return 2;//若 a 与 b 的点积为负，则说明两向量反向，为情况 3
    if(a.norm()<b.norm())return -2;//若 a 的大小小于 b 的大小，说明是情况 4
    return 0;//点在线段上，情况 5
}

代码也不长，可以准确判断点与线段关系。

注意一下函数的返回值。

为什么要一正一负呢？仔细观察：

1. $p0,p1$分别在 $\overrightarrow{p2p3}$两端，一个在顺时针方向，一个在逆时针方向。此时 $ccw(p2,p3,p0)\times ccw(p2,p3,p1)=-1$
2. $p0,p1$中至少有 1 个在线段 $p2p3$上，此时 $ccw(p2,p3,p0)\times ccw(p2,p3,p1)=0$
3. $p0,p1,p2,p3$在同一直线上，且线段 $p2,p3$在线段 $p0,p1$上，此时 $ccw(p2,p3,p0)\times ccw(p2,p3,p1)=-4$

发现没有？我们利用了异号相乘为负和任何数乘以 $0$均为 $0$的性质，如果 $ccw(p2,p3,p0)\times ccw(p2,p3,p1)\leq 0$则说明对于 $p0,p1$满足上面的三个条件。

而这时候还不足以说明 $p0p1$与 $p2p3$相交，还需要判断对于 $p2,p3$是否满足上面的三个条件。

所以判断两条线段 $p0p1$与 $p2p3$是否相交的代码如下（intersect，相交，若相交返回 true(1)）：

bool intersect(Point p0,Point p1,Point p2,Point p3)
{
    return (ccw(p0,p1,p2)*ccw(p0,p1,p3)<=0&&ccw(p2,p3,p0)*ccw(p2,p3,p1)<=0);
}

例题

You can Solve a Geometry Problem too
HDU – 1086: 传送门=￣ω￣=

题意：给出 $n$条线段，判断有几对线段相交。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define EPS (1e-10)
using namespace std;
typedef struct Point
{
    double x,y;
    double dot(Point a){return x*a.x+y*a.y;}
    double cross(Point a){return x*a.y-a.x*y;}
    double norm(){return x*x+y*y;}
    Point operator - (Point a){return (Point){x-a.x,y-a.y};}
}Vector;
int n,ans;
Point ps[105],pe[105];
double ccw(Point s,Point e,Point p)
{
    Vector a=e-s,b=p-s;
    if(a.cross(b)>EPS)return 1;
    if(a.cross(b)<-EPS)return -1;
    if(a.dot(b)<-EPS)return 2;
    if(a.norm()<b.norm())return -2;
    return 0;
}
bool intersect(Point p0,Point p1,Point p2,Point p3)
{
    return (ccw(p0,p1,p2)*ccw(p0,p1,p3)<=0&&ccw(p2,p3,p0)*ccw(p2,p3,p1)<=0);
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n),ans=0,n)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&ps[i].x,&ps[i].y,&pe[i].x,&pe[i].y);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                ans+=intersect(ps[i],pe[i],ps[j],pe[j]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

2. 判断线段与直线相交

正文

这个问题比判断线段与线段相交简单些。

比如判断直线 $S+kV$和线段 $p0p1$是否相交，只需要判断 $p0p1$与 $S+kV$的位置关系。

思路与上面一样，只不过是 $ccw$函数不需要判断第 3,4 种情况（指的是上面的那 5 张图所示的情况），即我们把这两种情况均视为第 5 种情况——点在直线上。

所以 $ccw$函数这么写：

int ccw(Point s,Vector v,Point p)//判断直线 s+kv 与点 p 的关系
{
    Vector v2=p-s;
    if(v.cross(v2)>EPS)return 1;//点在直线逆时针方向
    if(v.cross(v2)<-EPS)return -1;//点在直线顺时针方向
    return 0;//点在直线上
}

而且其实我们的 $intersect$函数也要改：

bool intersect(Point s,Vector v,Point p1,Point p2)
{
    return (ccw(s,v,p1)*ccw(s,v,p2)<=0);
}

于是就愉快地判断了线段与直线关系啦！

例题

Segments
POJ – 3304: 传送门=￣ω￣=

题解：枚举任意两线段的不同端点，过这两点作一条直线。若存在一条直线与所有线段都相交则存在答案，输出 Yes!。否则说明不存在答案，输出 No!

注意特判只有一条线段的情况。

（我之前把特判写读入前面了WA了好久！

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define NS (105)
#define EPS (1e-10)
using namespace std;
typedef struct Point
{
    double x,y;
    double cross(Point a){return x*a.y-a.x*y;}
    Point operator - (Point a)const{return (Point){x-a.x,y-a.y};}
    bool operator != (Point a)const{return fabs(x-a.x)>EPS||fabs(y-a.y)>EPS;}
}Vector;
int T,n;
Point p[2][NS];
int ccw(Point s,Vector v,Point p)
{
    Vector v2=p-s;
    if(v.cross(v2)>EPS)return 1;
    if(v.cross(v2)<-EPS)return -1;
    return 0;
}
bool intersect(Point s,Vector v,Point p1,Point p2)
{
    return (ccw(s,v,p1)*ccw(s,v,p2)<=0);
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&p[0][i].x,&p[0][i].y,&p[1][i].x,&p[1][i].y);
        if(n==1){puts("Yes!");goto nxt;}
        Vector v;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                for(int x0=0;x0<=1;x0++)
                    for(int x1=0;x1<=1;x1++)
                        if(p[x0][i]!=p[x1][j])
                        {
                            v=p[x1][j]-p[x0][i];
                            for(int k=1;k<=n;k++)
                                if(!intersect(p[x0][i],v,p[0][k],p[1][k]))goto end;
                            puts("Yes!");goto nxt;
                            end:continue;
                        }
        puts("No!");
        nxt:continue;
    }
    return 0;
}

法二 (二次判断法)

对于两个线段是否相交，我们可以用一种较为快速的方法。利用一下几个结论。

• 如果包裹两条线段的矩形没有相交，那么两条线段一定没有相交，反之不一定。(排斥实验)
  
• 如果线段彼此跨过对方所在的直线或端点在直线上，则两线段一定相交。(跨立实验)
  

对于线段是否跨过一条直线，我们可以利用向量叉乘判断。叉乘是两向量的一种乘积，其结果 (2 维空间中) 是一个标量。如果我们在 2 维空间中，将两个向量的屁股接在一起，伸出右手，右手食指伸出指向向量 a，再转一个小于 $\pi$的角度指向 b，那么大拇指的方向代表了 $a\times b$的符号。如果大拇指朝上，则符号为正，反之为负。如果大拇指既不朝上也不朝下，那么请去医院检查一下，或者检查一下你是否理解了上面这段话。

所以代码大概是这样的：

typedef struct tvec
{
    double x,y;
    tvec operator - (const tvec a)const{return (tvec){x-a.x,y-a.y};}
}vec;
double crs(vec a,vec b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}

bool Intersect(vec s1,vec e1,vec s2,vec e2)
{
    if( min(s1.y,e1.y)>max(s2.y,e2.y)||                     //排斥实验
        max(s1.y,e1.y)<min(s2.y,e2.y)||
        min(s1.x,e1.x)>max(s2.x,e2.x)||
        max(s1.x,e1.x)<min(s2.x,e2.x))return 0;
    if( crs(s1-e2,s2-e2)*crs(e1-e2,s2-e2)<=0&&              //跨立实验
        crs(e2-s1,e1-s1)*crs(s2-s1,e1-s1)<=0)return 1;
    else return 0;
}

point jd(point a1,point b1,point a2,point b2) {
    db t1=(b1-a1)*(a1-a2),t2=(b1-a1)*(b2-a2),t=t1/t2;
    return (point){a2.x+t*(b2.x-a2.x),a2.y+t*(b2.y-a2.y)};
}
int jiao(point as,point bs) {
    if((as.x-bs.x)*(as.x-bs.x)+(as.y-bs.y)*(as.y-bs.y)<eps) return 0;
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        if(fabs((l[i].b-l[i].a)*(bs-as))<eps)//特判平行
            if(fabs((bs-as)*(l[i].b-as))<eps) continue;
            else return 0;
        point o=jd(as,bs,l[i].a,l[i].b);//求交点
        if(l[i].a.x>o.x+eps||o.x>l[i].b.x+eps) return 0;//看是否在线段上
        if(min(l[i].a.y,l[i].b.y)>o.y+eps||max(l[i].a.y,l[i].b.y)+eps<o.y) return 0;
    }
    return 1;
}